El problema de las tres puertas en un clásico de los problemas de probabilidad el cual surgió a partir de un concurso televisivo presentado por Monty Hall, por lo que también se le conoce como problema de Monty Hall.

Enunciado del problema de las tres puertas

Estás en un concurso de televisión delante de tres puertas cerradas. Se sabe que detrás de una de esas puertas hay un automóvil, mientras que tras las otras dos hay simplemente una cabra, pero no se sabe que hay tras cada puerta.

En primer lugar, el presentador te pide que elijas una de las tres puertas, siendo el premio que te llevarás el que se encuentre detrás de la puerta elegida. Eliges una puerta y, como es normal, quieres ganar el coche.

A continuación, el presentador abrirá una de las puertas que no has elegido, y siempre habrá una cabra detrás de esa puerta. Por tanto, nos quedan en las otras dos puertas la otra cabra y el automóvil.

En ese momento el presentador te preguntará si quieres cambiar de puerta o mantener la elegida inicialmente. ¿Qué debes hacer? ¿Cambiarías a la otra puerta o te quedarías con la que habías seleccionado inicialmente?

Muñeco eligiendo puerta


Solución al problema de las tres puertas

¿Ya has decidido con qué puerta quedarte? ¿Estás seguro?

Estadísticamente, inicialmente teníamos 3 puertas, por lo que la probabilidad de que el coche esté en la seleccionada es de 1/3, mientras que la probabilidad de que esté una cabra es de 2/3.

Una vez abierta la puerta de la cabra por el presentador es erróneo pensar que las probabilidades de que el coche esté en cada una de las dos puertas que quedan cerradas son la misma (50% ó 1/2), ya que el presentador siempre abre la puerta en la que hay una cabra, sabiendo este hecho de antemano. Por tanto, las probabilidades iniciales se mantienen. Esto es debido a que pueden pasar las 3 siguientes situaciones:

- Probabilidad 1/3: Eliges inicialmente la puerta que tiene el coche. El presentador abre la puerta de una cabra. Tu cambias de puerta y por tanto pierdes el coche, pero si te quedas con la misma puerta ganas el coche.

- Probabilidad 2/3: Eliges inicialmente la puerta que tiene una cabra. El presentador abre la puerta que tiene la otra cabra. Tu cambias de puerta y por tanto ganas el coche, pero si te quedas con la misma puerta lo pierdes.

Resumiendo, si te quedas con la puerta que elegiste inicialmente tendrás 1/3 de posibilidades de ganar el coche, mientras que si cambias de puerta tendrás 2/3.


Publicado por Javi Martínez el miércoles, 13 de abril de 2011

11 comentarios

  1. Alfonso V Says:
  2. Hola, Javi
    Este problema sale en un capítulo de la serie Numbers.
    video de youtube del problema de las puertas en Numbers.
    Es magnífica la recreación.
    Numbers es una serie de policías que usan las matemáticas para resolver crímenes.

    ¡A propósito, ayer estuvo la policía nacional en mi casa!
    Estaban investigando desde donde arrojaron un huevo a los transeúntes. En serio.
    Uno se siente más seguro sabiendo que la policía te protege de los delitos de los huevos.
    Un saludo

     
  3. Anónimo Says:
  4. Hola
    Este es un problema muy entretenido el cual se presta para muchas confusiones.
    Algunos argumentan que el espacio muestral no cambia luego de la elección del presentador y me gustaría aclarar que cuando uno plantea un espacio de probabilidad, este nunca cambia, por lo tanto es un error pensar que un hecho cambia tu espacio. Lo que cambia son las condiciones y la información con la cual calculamos nuestra probabilidad, pero no así el espacio que debe contener todo tipo de información.

    No he visto una demostración formal de este problema, pero ahí les pongo un bosquejo de una que hice por si les interesa:

    Primero deben definir 3 variables aleatorias X(j) con j=1,2,3 (j hace referencia a la puerta 1, 2 o 3) tal que X(j) = 1 si la puerta tiene el premio y cero si no. Notar que ya hay una dependencia en estas variables aleatorias ya que X(1)+X(2)+X(3)=1 con probabilidad 1, es decir sólo hay un premio entre las 3 puertas. Obviamente P{X(j)=1}=1/3 para cada j.

    El siguiente paso es definir dos variables aleatorias independientes entre si y también entre las X(j). Llamemos a estas variables aleatorias Y(i) con i=1, 2 (i=1 hace referencia al concursante y i=2 hace referencia al presentador). Y(i) toma valores en {1,2,3} y hace referencia a la puerta elegida por el jugador i, es decir Y(1) = 3 si el concursante elige la puerta 3 y Y(2) = 1 si el presentador elige la puerta 1. Luego hay que definir que P{Y(i)=x} = 1/3 para todo x =1,2,3 e i=1,2; es decir que en nuestro espacio de probabilidad, tanto el jugador como el presentador pueden elegir con probabilidad uniforme la puerta. Es muy importante no confundirse que todavía no planteamos el condicionamiento que tiene el presentador, sólo estamos definiendo las variables aleatorias y el espacio de probabilidad.

    Finalmente la probabilidad a calcular es la siguiente:

    p = P( {X(Y(1))=1} I {X(Y(2))=0} n {Y(1) =/ Y(2)} )

    =/ significa que es distinto… no encontré el signo igual con una rayita.
    n significa intersección de conjuntos.

    En palabras, queremos calcular la probabilidad que el resultado de la puerta elegida por el concursante sea 1, dado que el resultado de la puerta elegida por el presentador es cero y que la puerta del presentador es distinta a la del concursante.

    Les dejo como ejercicio calcular la probabilidad, sólo deben condicionar los valores de {Y(i) = k} con i=1,2 (obviamente k = 1,2,3) y calcular la doble sumatoria (probabilidades totales). Notarán que el resultado les va a dar 1/18 x 6 = 1/3
    También notar que si a p le sacan la condición de que Y(1) =/ Y(2), entonces la suma les dará 1/18 x 9 = 1/2. Mucha gente olvida esta condición y por eso piensa que tiene un 50% de chance en elegir la puerta correcta

     
  5. Anónimo Says:
  6. Tengo otro problema de probabilidades y a mi gusto es más bonito que este. Dice así:

    Hay dos jugadores. El jugador uno tiene una cantidad A de monedas y el jugador 2 tiene una cantidad B de monedas. Ambos juegan cara y cruz de tal manera que si sale cara, el jugador 1 le roba una moneda al jugador 2 y si sale cruz, entonces el jugador 2 le roba una moneda al jugador 1. Gana quien se hace de todas las monedas, es decir, gana quien es capaz de quitarle todas las monedas a su oponente.

    ¿cual es la probabilidad de que el jugador 1 gane?
    Respuesta: A/(A+B)

    Sin duda debe haber más de una forma de resolver este problema... yo lo resolví ocupando conceptos de procesos estocásticos un poco técnicos para mencionarlos acá, pero es una solución corta y bien elegante.

     
  7. Anónimo Says:
  8. Es totalmente mentira,si ven la pelicula 21.entenderan.

     
  9. Anónimo Says:
  10. es que es hay mas probalidades de que tengas una cabra ya que hay dos a que tengas el coche¡¡¡¡

     
  11. Anónimo Says:
  12. Creo que hay dos momentos en la elección. Lógicamente al elegir una puerta entre las 3 tengo 1/3 de posibilidades de acertar con el coche. Supongamos que eligo la puerta 3 y el presentador habre la 1. Ahora tengo la posibilidad de volver a elegir. Pero ahora elijo entre las puertas 2 y 3. En este momento vuelvo a comenzar a jugar y mis posibilidades sería de 1/2. Con las reglas del juego, desde el principio he tenido un 50% de posibilidades de llevarme el coche. César

     
  13. Anónimo Says:
  14. cesaar tienees razoon desde el principio tienes el 50/50 de posibilidades, solo q eso es un dato trampa

     
  15. Anónimo Says:
  16. no entendi el juego aso p*$%#&" $%&*/ no me gusto este %$&#/* juego

     
  17. A mi esto no me influye. Yo tengo tan mala suerte que incluso con 3 coches tras las puertas me saldría una cabra. :'(

     
  18. Esteban Paz Says:
  19. No cesar, porque en el "tiro" del principio hay mas probabilidades de haber elegido una cabra

     
  20. Anónimo Says:
  21. La mejor forma de convencer a cualquier persona de que la probabilidad de ganar el coche aumenta es proponiendo este ejercicio:
    Imagina 100 puertas.
    Detras de 1 puerta esta el coche.
    Detras de 99 puertas cada una tiene cabra.
    Las puertas estan todas cerradas.
    El participante elige una puerta donde la probabilidad de coche es 1/100 y la probabilidad de cabra es 99/100.
    El manager tiene que abrir todas las puertas (98) que tienen cabras excluyendo la puerta que tu prumero elegiste y excluyendo el coche.
    Alli te pregunta si te quedas con la puerta que originalmente elegiste (probabilidad 1/100 que no se altera) o eliges la otra puerta cerrada con la probabilidad de tener el coche 99/100.
    Obviamente conviene cambiar de puerta.
    Con tres puertas es ma dificil ver la differencia que es 1/3 si no cambias y 2/3 si cambias puertas.
    Fin de la historia.

     

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